{"id":880,"date":"2010-03-08T01:07:35","date_gmt":"2010-03-07T23:07:35","guid":{"rendered":"http:\/\/matematicas.jesussoto.es\/?p=880"},"modified":"2010-03-08T01:07:35","modified_gmt":"2010-03-07T23:07:35","slug":"la-formula-de-de-moivre","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=880","title":{"rendered":"La f\u00f3rmula de De Moivre"},"content":{"rendered":"

\"\" Repasando tareas y respuestas de mis alumnos, he vuelto a recordar la vieja relación entre Abraham De Moivre y Euler. Hoy se suele demostrar la fórmula de De Moivre utilizando la fórmula de Euler; sin embargo, cronológicamente no fue así.<\/p>\n

Euler conocía $ (\\cos(\\theta)\\pm i \\sin(\\theta))^n=\\cos(n\\theta)\\pm i \\sin(n\\theta)$, de hecho De Moivre la escribió antes de final del XVII. De dicha fórmula fue donde Euler obtuvo una fórmula para el coseno<\/p>\n

$ \\cos(n\\theta)=\\frac{(\\cos(\\theta)+ i \\sin(\\theta))^n+(\\cos(\\theta)- i \\sin(\\theta))^n}{2}$<\/p>\n

y otra para el seno<\/p>\n

$ \\sin(n\\theta)=\\frac{(\\cos(\\theta)+ i \\sin(\\theta))^n-(\\cos(\\theta)- i \\sin(\\theta))^n}{2i}$<\/p>\n

A continuación tomó θ como infinitesimal y n<\/em> como infinitamente grande. Dedujo que las relaciones entre θ y n<\/em> son tales que su producto es finito, θn<\/em>→ν, y añadiendo que<\/p>\n

$ \\cos(\\theta)\\rightarrow 1,\\quad \\sin(\\theta)\\rightarrow \\theta=\\frac{\\nu}{n},$<\/p>\n

resuelve que<\/p>\n

$ \\cos(\\nu)=\\frac{e^{i\\nu}+e^{-i\\nu}}{2},\\quad \\sin(\\nu)=\\frac{e^{i\\nu}-e^{-i\\nu}}{2i}.$<\/p>\n

Y de aquí a la fórmula de Euler en un plis-plas.<\/p>\n

He incluido esta entrada como aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas<\/a> organizada por Juan Pablo<\/a>.<\/p>\n

Enlaces de interés<\/h3>\n