Cauchy fue el primero que abordó la cuestión de la existencia y unicidad de soluciones de las ecuaciones diferenciales y lo hizo con éxito. Su método, creado entre 1820 y 1830 y aplicable a la ecuación y’ = ƒ (t, y), consiste en aproximar la solución a través de una apropiada sucesión de funciones poligonales y aparece en su esencia contenido en un trabajo de Euler de 1768. Cauchy extendió además sus resultados a sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior. Las resultados de Cauchy requerían que δf/δy fuesen continuas. En 1876 Lipschitz debilitó la hipótesis reemplazando la continuidad de δf/δy por la condición que lleva su nombre.
En 1838 Liouville había publicado un método alternativo de solución, probablemente también conocido por Cauchy, aplicable en algunos casos particulares. Éste es el llamado método de las aproximaciones sucesivas y ahora se suele atribuir a Picard, que lo estableció en su forma general en 1890 (Lindelöf lo rehizo independientemente en 1893).
También en el año 1890 apareció el teorema de Peano de existencia de soluciones, para el que sólo se exige a ƒ que sea continua (se pierde la unicidad). La demostración fue sucesivamente simplificada por Mie, de la Vallée Poussin, Arzelà, Montel y Perron.
El teorema de diferenciabilidad de soluciones respecto de condiciones iniciales lleva comunmente asociado el nombre de Peano, que lo probó en 1897, aunque existen antecedentes (bien es verdad que más restrictivas) de Nicoletti (1895), Picard (1896) y Bendixson (1896). El resultado de Peano fue a su vez redescubierto independientemente por von Escherich en 1898 y Lindelöf en 1900. Su versión más general (incluyendo parámetros) se debe a Hadamard (1900).
Enlaces de interés:
- Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas, Víctor Jiménez López