Releyendo un tema de las fracciones continuas me acabo de topar con la demostración de Lambert sobre la irracionalidad de π.
Todo parte de una fórmula en fracciones continuas que deduce Lambert:
y de dos resultados:
Ahora consideramos el radio 1 y el arco x=m/n,, siendo m y n números enteros. sustituyendo en la fórmula de la tangente
tenemos una fracción continua que cumple el lema, por tanto la tangente es irracional: luego si el arco es conmensurable con el radio, su tangente será inconmensurable.
Esta es la clave para deducir que si π fuese racional, el arco π/4 lo seria también, y por consiguiente su tangente debería ser irracional. Pero esto no ocurre, ya que la tangente del arco de π/4 es igual al radio, en consecuencia π no puede ser racional.
Esta deducción de Lambert la escribió Adrien-Marie Legendre, quien apostilló: es probable que el número π no está comprendido entre las cantidades irracionales algebráicas, esto es, que no puede ser la raíz de una ecuación algebraica de un número finito de términos, cuyos coeficientes son racionales: pero parece muy difícil de demostrar rigurosamente esta proposición.
Nota: (4 marzo, 2011) En una entrada de microsiervos nos anunciaban el aniversario de la prueba de Lambert, información obtenida via Happy birthday pi.
Enlaces de interés
- Elementos de Geometría: con notas. Adrien-Marie Legendre