En la web de la Real Sociedad Matemática Española nos informan sobre la XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática, celebrada del 20 al 30 de septiembre, en la ciudad de Asunción, Paraguay.
Los problemas propuestos fueron:
Problema 1
Se tienen diez monedas indistinguibles puestas en línea. Se sabe que dos de ellas son falsas y ocupan posiciones consecutivas en la línea. Para cada conjunto de posiciones, se puede preguntar cuántas monedas falsas contiene. ¿Es posible determinar cuáles son las monedas falsas efectuando únicamente dos de estas preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda?
Problema 2
Determinar si existen números enteros positivos a y b tales que todos los términos de la sucesión definida por x1 = 2010, x2 = 2011,
$x_{n+2}=x_n+x_{n+1}+a\sqrt{x_nx_{n+1}+n},\,n\leq 1,$
sean enteros.
Problema 3
La circunferencia Γ inscrita al triángulo escaleno ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente. La recta EF corta a la recta BC en G. La circunferencia de diámetro GD corta a Γ en R (R ≠ D). Sean P y Q (P ≠ R, Q ≠ R) las intersecciones de BR y CR con Γ, respectivamente. Las rectas BQ y CP se cortan en X. La circunferencia circunscrita a CDE corta al segmento QR en M y la circunferencia circunscrita a BDF corta al segmento PR en N. Demostrar que las rectas PM, QN y RX son concurrentes.
Problema 4
Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números enteros positivos distintos son números enteros. Hallar el menor valor posible para la media aritmética.
Nota: Si a y b son números positivos, sus medias aritmética, geométrica y armónica son respectivamente: $\frac{a+b}{2},\, \sqrt{a\,b},\,\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
Problema 5
Sea ABCD un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales AC y BD son perpendiculares. Sean O el circuncentro de ABCD, K la intersección de las diagonales, L ≠ O la intersección de las circunferencias circunscritas a OAC y OBD, y G la intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de ABCD. Probar que O, K, L y G están alineados.
Problema 6
Alrededor de una mesa circular se sientan 12 personas y sobre la mesa hay 28 floreros. Dos personas pueden verse si y sólo si no hay ningún florero alineado con ellas. Probar que existen al menos dos personas que pueden verse.
La máxima puntuación la obtuvo Marcelo Tadeu De Sá Oliveira Sales de Brasil, con 38 puntos sobre 42.
Enlaces de interés:
- Web oficial de la 25.º Olimpiada Iberoamericana de Matemática
- Celebrada la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas en Paraguay , RSME