Continuemos mostrando como Euler razona seguidamente. Si ponemos en esta expresión x= a-1 obtendremos una expresión que nos permite determinar k en función de a (que es la otra relación que nos faltaba)
En efecto se tendría que
$ 1 = log_{a}(a) = log_{a} (1+x) = \frac{1}{k} \left( \frac{a-1}{1} + \frac{(a-1)^{2}}{2} + \frac{(a-1)^{3}}{3} + \frac{(a-1)^{4}}{4} + \cdots \right) $
Y despejando k
$ k = \frac{a-1}{1} + \frac{(a-1)^{2}}{2} + \frac{(a-1)^{3}}{3} + \frac{(a-1)^{4}}{4} + \cdots $
Por ejemplo si tomamos como base de los logaritmos a=10, obtendríamos una suma de la forma
$ k = \frac{9}{1} – \frac{9^{2}}{2} + \frac{9^{3}}{3} – \frac{9^{4}}{4} + \cdots $
serie cuyo valor debe ser aproximadamente 2,30258, lo cual puede resultar difícil de entender ya que los términos de esta serie se hacen mayores continuamente y además tampoco puede obtenerse de unos cuantos sumandos una suma aproximada. Este era uno de los problemas con los que se encontraba Euler a menudo, aunque los salvaba posteriormente de manera honrosa.
Nos quedamos con la expresión
$ log_{a}(1+x) = \frac{1}{k} \left( \frac{x}{1} – \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} – \frac{x^{4}}{4} + \cdots\right) $
Una vez llegados a este punto Euler reza así: Ya que para fundar un sistema de logaritmos es lícito escoger a gusto de cada cual la base a, se podrá asumir de manera natural la base que haga k=1. Mediante la serie hallada más arriba, será:
$ a = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdots $
términos que convertidos en fracciones decimales y sumados acto seguido ofrecerán como valor
$ a= 2,718281828459045235360028 $
Y si ahora se construyen logaritmos sobre tal base, como mediante logaritmos de este tipo se puede cuadrar la hipérbola se les suele llamar logaritmos naturales o hiperbólicos. Llamemos por brevedad la letra constante e que denotará entonces la base de los logaritmos naturales o hiperbólicos a la que corresponde el valor de la letra k=1.
(Autor Federico Ruiz López.)