La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de período T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo período T. El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento $u = u(t,x)$ de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación diferencial
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\, t>0,\, 0 < x < 1,$$ sujeto a las condiciones iniciales $u(t,0) = u(t, 1) = 0$ para $t\geq, \frac{\partial u}{\partial t}(0,x) = 0$ para $0 < x < 1$. La solución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la fórmula de D’Alembert:
$$u(t,x) = \frac{1}{2}f(x+t) + \frac{1}{2}f(x-t),$$
en la cual f es una función impar de período 2 que se anula en los puntos x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie de la forma
$$
f(x)=\sum_{n=1}^\infty \hat{f}(n)\sin n\pi x,
$$
y como consecuencia
$$
u(t,x)=\sum_{n=1}^\infty \hat{f}(n)\cos n\pi x\,\sin n\pi x.
$$
Las mismas ideas fueron luego expresadas por D. Bernoulli(1753) y Lagrange(1759). La fórmula
$$
\hat{f}(x)=2\int_0^0 f(x)\sin n\pi x
$$
para calcular los coeficientes, apareció por primera vez en un artículo escrito por Euler en 1777.
La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema de flujo del calor
$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$
presentado a la Académie des Sciences en 1811 y publicado en parte como la celebre Théorie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo contribuciones importantes al problema.
Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
«Fourier series, Fourier Transforms and Applications», Genaro González, Divulgaciones Matemáticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60.