Producto de Wallis

Hoy damos comienzo a una nueva singladura de La aventura de las matemáticas, con un nuevo dominio, pimedios.es, y un rebautizado nombre: pimedios, la aventura de las matemáticas.

Y que mejor comienzo que dando explicación a $\frac{\pi}{2}$ mediante la fórmula de Wallis, donde primero apareció una expresión para la fracción. Como sabéis, este es un blog que disfruta divulgando la historia de las matemáticas, centrándonos siempre que podemos en los primeros procesos que nos llevaron a los resultados que hoy conocemos. Por este motivo explicaremos cómo Wallis encontró su producto

Veamos como lo hizo. En la ultima parte de su obra Arithmetica Infinitorum trata de calcular el área de un cuadrante del círculo de radio la unidad, y para ello utiliza la aritmética de los indivisibles de Cavalieri. Designa como un cuadrado pequeño (por sencillez lo escribiré así $\sqcap$) el recíproco del área deseada, y establece que la suma infinita de los indivisibles de la función del círculo será el inverso de $\sqcap$. Recordemos que la notación $\pi$ todavía no se utilizaba, por ese motivo Wallis sólo hace mención del área, que implícitamente lleva a $\pi$. Utilizando el signo $\sqcap$ de Wallis hoy escribiríamos
$$\frac{1}{\sqcap }=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}},$$
o bien,
$$\frac{1}{\sqcap }=\int_{0}^1(1-x^2)^{\frac{1}{2}}dx,$$
utilizando la nomenglatura que introducirá Leibniz 20 años después. Wallis conocía el resultado de las áreas bajo las curvas $y=x^{\frac{p}{q}}$, y que este era igual a
$$\int_{0}^1x^{\frac{p}{q}}dx=\frac{1}{\frac{p}{q}+1}=\frac{p}{p+q}.$$
Su idea fue generalizar el área para las funciones $y=(1-x^\frac{1}{p})^q$, de modo que si $p=q=\frac{1}{2}$, conseguía
$$\frac{\pi}{4}=\int_{0}^1\sqrt{1-x^2}\,dx.$$

Por tanto, comenzó a computar los valores de la función
$$f(p,q)=\frac{1}{\int_{0}^1(1-x^\frac{1}{p})^q\,dx}$$
para valores de $p,q\leq 10$.

No tardó en observar que

$$f(p,q)=\frac{1}{p!}(q+1)(q+2)\cdots(p+q),$$

y la recursiva
$$f(p,q)=\frac{p+q}{q}f(p,q-1).$$

Cuando tuvo los elementos los dispuso en una tabla y planteó expandirla a los valores intermedios, donde aparecería $f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\sqcap$.

Para calcularlos más cómodamente, consideró $m=2p$ y $n=2q$, de modo que
\begin{equation}
a_{m,n}=f(\frac{m}{2},\frac{n}{2})=\frac{\frac{m}{2}+\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}}f(\frac{m}{2},\frac{n}{2}-1)=\frac{m+n}{n}a_{m,n-2}.\{q05\}
\end{equation}

Wallis sigue trabajando con los valores de $a_{m,n}$ como si se tratase del triángulo de Pascal, pero el que le interesa es $\sqcap=a_{1,1}$. Así que estudia los números cuando $m=1$
$$a_{1,n}=\frac{n+1}{n}a_{1,n-2},$$
obteniendo de forma recursiva
\begin{equation}
a_{1,n}=1\times \frac{3}{2}\times \frac{5}{4}\times \cdots\times\frac{n+1}{n},\{q06\}
\end{equation}
si $n$ es par, y
\begin{equation}
a_{1,n}=\frac{\sqcap}{2}\times \frac{2}{1}\times \frac{4}{3}\times \cdots\times\frac{n+1}{n},\{q07\}
\end{equation}
en caso de que $n$ sea impar.

El siguiente paso es comprobar que
$$a_{1,1}\leq a_{1,2}\leq a_{1,3}\leq\ldots\leq a_{1,n}\leq a_{1,n+1}\leq\ldots, $$
para sustituir $\{q06\}$ y $\{q07\}$ en
$$a_{1,2n-1}\leq a_{1,2n}\leq a_{1,2n+1},$$
resultando
$$\frac{\sqcap}{2}\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k-1}<\prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k}<\frac{\sqcap}{2}\prod_{k=1}^{n+1}\frac{2k}{2k-1}, $$ de donde conseguimos $$\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}<\frac{2}{\sqcap}<\left[\prod_{k=1}^{n}\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\right]\frac{2n+2}{2n+1}.$$ Como $\frac{2n+2}{2n+1}$ tiende a 1 cuando $n$ tiende a infinito, Wallis concluye que el producto $$\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}$$ coincide con $\frac{2}{\sqcap}$ en el infinito. Si recordamos que $\frac{2}{\sqcap}=\frac{\pi}{2}$, nos damos cuenta que ha obtenido $$\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5} \cdots$$

Con esta entrada contribuimos a la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a Scientia potentia est.