Consciente de las imprecisiones y las ambigüedades del uso del infinito e infinitesimales, Lagrange convocó en 1784, en la Academia de Berlín, un concurso para reemplazar tales nociones sin perder simplicidad en los razonamientos. Ante la falta de respuestas satisfactorias, publicó su propia solución: una teoría de las funciones analíticas que liberaba el cálculo diferencial de los infinitamente pequeños y colocaba la noción de derivada en un lugar preeminente. Pero, como ya les había ocurrido a otros antes, no se trataba más que de un desarrollo teórico, pues en el momento de las aplicaciones físicas, como se refleja en su mecánica analítica, Lagrange recuperaba el uso de la diferencial y de los infinitamente pequeños Laugwitz, (1997). La justificación rigurosa del cálculo llegó de la mano del matemático francés Cauchy, en la primera mitad del siglo XIX, quien, a partir de un mejor conocimiento del concepto de límite y del conjunto de los números reales, formuló una definición precisa de las cantidades infinitesimales, de la derivada y la integral. En cuanto a la diferencial, dejó de identificarse con un incremento infinitesimal, se vació de todo significado físico y pasó a ocupar un lugar marginal en la estructura del cálculo. Cauchy define la cantidad infinitamente pequeña como una variable cuyo valor numérico decrece indefinidamente de manera que converge hacia el límite cero Cauchy, (1821), lo que resulta ya suficiente para superar algunas de las objeciones que se habían formulado en los siglos anteriores.
La definición de límite proporcionaba también una definición precisa de la derivada y la integral, y un procedimiento no ambiguo para calcularlas. La derivada se definió como «el límite de un cociente de incrementos»; la integral, que había sido reducida en la práctica a la operación inversa de la derivación después del enunciado del teorema fundamental, recuperó con Cauchy el importante papel que había jugado durante la primera mitad del siglo XVII y se definió como «el límite de una serie de sumas». Para el cálculo de ambas, se partía de una relación entre incrementos, aunque fuese aproximada, y después se calculaba el límite de un cociente o de una suma.
De esta forma, la diferencial no era ya necesaria para definir y calcular derivadas e integrales. Además, como el incremento de cualquier función continua obedece a la definición formal de infinitesimal, no tiene sentido utilizar el término diferencial para referirse al incremento (infinitesimal) de una función. Si a esto se añade la sospecha acumulada a lo largo de los años sobre la diferencial y los infinitesimales de servir de base a tratamientos matemáticos poco rigurosos, el terreno resultaba claramente abonado para que la diferencial quedase relegada a un papel marginal en el nuevo marco teórico del cálculo. Cauchy definió la diferencial como una expresión construida a partir de la derivada: $df=f'(x)dx$, siendo $dx$ un incremento arbitrario (grande o pequeño) de la variable y pasó a convertirse así en un simple instrumento formal, necesario para justificar y abreviar ciertas demostraciones. Se desprendió, entonces, a la diferencial de la ambigüedad de los infinitamente pequeños, pero al mismo tiempo quedó desprovista de cualquier significado físico o intuitivo propio: simplemente era el producto de la derivada por el incremento de la variable independiente. Como afirma Freudenthal (1973): «Diferenciales inútiles pueden ser despedidas de inmediato. Si $dy,dx$ aparecen sólo en la combinación $\frac{dy}{dx}$ o bajo el signo integral después del integrando, la pregunta sobre qué significan individualmente $dx,dy$ es equivalente a preguntarse qué significan las letras l, o, g, en log».
Resulta evidente que la aportación de Cauchy no es suficiente para superar la sensación de inseguridad y la actitud mecánica cuando se usa el cálculo en las aplicaciones físicas, e incluso lo agrava al vaciar de significado un concepto tan importante para tales aplicaciones como es el de diferencial. Es necesario, pues, llevar a cabo una clarificación que consiga reconciliar, por un lado, la estrecha vinculación con las situaciones físicas de las expresiones diferenciales de Leibniz y Newton, y por otro el rigor y la precisión de su significado, saliendo al paso de la situación descrita por Freudenthal (1973): «Es una situación imposible que el matemático enseñe unas matemáticas que no pueden ser aplicadas y el físico aplique unas matemáticas que no pueden ser enseñadas por el matemático.»
Este papel reconciliador lo ha jugado la concepción de diferencial introducida, en 1911, por el matemático francés Fréchet , según Artigue, (1989), para superar algunas deficiencias de la definición de Cauchy cuando se trataba de extender el análisis a funciones de varias e incluso infinitas variables Alibert et al., (1987). Esta nueva definición (invención) de diferencial recupera un significado propio y preciso de gran interés físico y geométrico sin pérdida de rigor.
Extraído de EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP) COMO ESTRATÉGIA METODOLÓGICA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PARALELO CON DERIVADAS Y SU INCIDENCIA EN EL RENDIMIENTO ACADEMICO DE LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA DE INACAP, de Patricia Rojas Salinas.