Las cantidades infinitamente pequeñas («cantidades divisibles evanescentes» según Newton, «cantidades incipientes “aún no formadas”» según Leibniz) constituyen la pieza fundamental para la creación del cálculo, pero también su punto más débil y el blanco de todas las críticas. Consideradas al principio de forma estática como cantidades fijas de valor más pequeño que cualquier número conocido pero nunca nulas, la concepción final adquirió un carácter dinámico: cantidades que podían hacerse tan pequeñas como se quisiera.
Leibniz y sus seguidores (hermanos Bernouilli, marqués de L‟Hôpital, Euler…), cuya notación y lenguaje se impusieron en el cálculo diferencial, llamaban diferencial de una magnitud a la variación infinitesimal de esa magnitud ($y$) (su «momento», en palabras de Newton). Si ($dy$) hubiese podido tomar un valor macroscópico, no habría coincidido con $\Delta y$ , pero, como sólo se le adjudicaban valores infinitamente pequeños, en ese rango se identificaba con $\Delta y$ y sin cometer error alguno. Así, la diferencial de la posición ($de$), aunque en términos macroscópicos no correspondía a ningún desplazamiento, podía identificarse con el desplazamiento ocurrido en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño ($dt$).
La diferencial ocupaba un lugar central en la estructura del cálculo y se utilizaba para sustituir el incremento para calcular la derivada (definida como el cociente de incrementos muy pequeños) y la integral (definida como una suma de infinitos incrementos muy pequeños). Los siguientes ejemplos ilustran el uso original de Newton y Leibniz de esas cantidades en sus cálculos y razonamientos, que ellos planteaban siempre en clave geométrica:
Para calcular la derivada de la función $y=x^2$, consideraban que una variación infinitesimal $dx$ produciría una variación también infinitesimal $dy$: $$y+dy=(x+dx)^2=x^2+2xdx+dx^2;$$ por tanto: $$dy=2xdx+dx^2.$$ Después dividían ambos miembros por $dx$: $$\frac{dy}{dx}=2x+dx,$$ y sólo en este momento despreciaban los sumandos infinitesimales, obteniendo: $$\frac{dy}{dx}=2x.$$
Para demostrar la relación inversa entre la derivación y el cálculo de áreas $A(x)$ bajo curvas $y(x)$, consideraban que una variación infinitesimal $dx$ produciría una variación infinitesimal $dA$, la cual podía aproximarse por el rectángulo de altura $y(x)$ y base dx, resultando: $$dA=ydx;$$ dividiendo ambos miembros por $dx$ , obtenían la relación básica $$\frac{dA}{dx}=y.$$
Para ellos, por ejemplo, de sería un desplazamiento infinitesimal producido en el intervalo infinitesimal de tiempo dt (que, aunque no era ∆e, podía sustituirlo en ese intervalo tan pequeño) y la rapidez instantánea, el cociente entre estas cantidades infinitesimales. Como puede apreciarse, el uso de los infinitesimales presentaba ciertas ventajas: se escribía como igualdad lo que sólo podía considerarse como aproximación si se utilizaban «incrementos finitos» –lo que resulta «doloroso» para un matemático actual, como señala Freudenthal (1973)–.
– ¿Con qué criterio se pasa de escribir una expresión sólo aproximada en términos de incrementos a otra exacta en términos de diferenciales? ¿Puede realizarse este paso para cualquier expresión? En el ejemplo citado más arriba, se aproxima el área de la curva por la de un rectángulo ($\Delta A\approx y\cdot dx$) e inmediatamente se escribe como igualdad en términos de diferenciales ($dA= y\cdot dx$); pero no se trata de una deducción sino de una definición. No obstante, cuando se aplica esta definición para el cálculo del área de la superficie de un cuerpo geométrico concreto, aparecen distintas alternativas entre las que hay que escoger. Por ejemplo, cuando se desea hallar la expresión funcional exacta de la superficie de una esfera, puede estimarse $\Delta A$ mediante sumas de superficies cilíndricas infinitesimales o de superficies troncocónicas, lo que hace que no sea evidente cuál elegir como expresión para la diferencial Artigue y Viennot, (1987), y se obtienen resultados distintos. ¿Cómo determinar la expresión diferencial? Menos evidente resulta en la mayoría de los problemas físicos, en los que son posibles muchas expresiones de partida que relacionan incrementos muy pequeños de forma aproximada. «La idea intuitiva de que la suma de infinitos “trocitos” infinitamente pequeños dará lugar al trozo grande deseado sin importar la “forma” de los trocitos fallaba en muchas ocasiones», conduciendo a resultados absurdos como los citados por Schneider (1991).
Newton y Leibniz fueron incapaces de responder con claridad a estas críticas y objeciones debido, en gran parte, a la falta de una definición precisa del concepto de límite. En los últimos trabajos de Newton existe un intento de abandonar el uso de los infinitesimales. «[…] En matemáticas no se deben despreciar ni los errores más diminutos», citado por Kline, (1972). Pero, todo era un intento formal para evitar contradicciones, ya que, como criticaba Berkeley, «al final es preciso volver a la idea de los incrementos evanescentes» Edwards, (1937). Por su parte, Leibniz reconoce en alguna ocasión que él «no cree en magnitudes verdaderamente infinitas o verdaderamente infinitesimales» Kline, (1972); no obstante, defiende su uso por una cuestión meramente práctica, considerando los símbolos empleados «ficciones útiles para abreviar y hablar universalmente» Edwards, (1937). En su réplica a las críticas del físico Nieuwentijdt, el propio Leibniz afirma: «Se pueden utilizar estos entes últimos –esto es, cantidades infinitas e infinitamente pequeñas– como un instrumento, en la misma forma en que los algebristas utilizaban las raíces imaginarias con gran provecho» Kline, (1972).
Este breve relato histórico muestra que el concepto de diferencial, identificado con un incremento infinitesimal, favoreció la construcción del cálculo y supuso un gran avance en la solución de problemas físicos. Sin embargo, ese mismo relato muestra también que esa definición de diferencial es insuficiente, no sólo por la falta de argumentos para explicar cómo y por qué funciona el cálculo, sino porque en muchas ocasiones conduce a resultados erróneos. En particular, la creencia errónea de que toda expresión aproximada del incremento puede considerarse exacta en intervalos infinitamente pequeños –es decir, cuando se transforma en una expresión diferencial– les impedía comprender por qué en unas ocasiones fallaba el algoritmo y en otras no, lo que generó inseguridad entre matemáticos y físicos de la época. El éxito obtenido por la aplicación del cálculo para resolver una gran cantidad de problemas, junto a la falta de comprensión y justificación de lo que se hacía, le imprimió un carácter de estrategia mecánica y repetitiva, más preocupada por el seguimiento fiel de algoritmos que por el significado, que –según las referencias citadas– todavía hoy perdura.
Los resultados presentados en otros trabajos Artigue, (1986); Martínez Torregrosa y López-Gay, (1992, 1993, 1997); López-Gay et al., (2001) indican que esta concepción histórica y la actitud mecánica a la que conduce es dominante en la enseñanza habitual. Aunque la diferencial de Leibniz, con sus dificultades y contradicciones, supuso un enorme avance para la comprensión y el estudio de la física, el mantenimiento de esta misma concepción (la diferencial de una función como cantidad infinitesimal que se aproxima al incremento infinitesimal de la función, pudiendo sustituirlo), en la enseñanza, tres siglos después, una vez que sabemos que es una concepción errónea, no parece ser lo más adecuado para promover la comprensión, la confianza y la autonomía en los estudiantes.
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