La serie armónica ha cautivado a los matemáticos desde siempre.
$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+\cdots }$$
Su nombre se debe a que la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias.
Sabemos que la serie es divergente; es decir, su suma es infinita. Nicole Oresme, o Nicolás Oresme, (c. 1323 – 11 de julio de 1382) , fue el primero que lo probó. Siglos después Pietro Mengoli (1626-1686), alumno de Bonaventura Cavalieri, abordó una nueva demostración, a la que siguieron las de los hermanos Bernoulli, Johann y Jacob. En el siglo XVII se vivía la eclosión por las series infinitas.
En el siguiente siglo, Euler, el alumno aventajado de los Bernoulli, en particular de Johann Bernoulli, quien le daba clases todos los sábados por la tarde (Dedicación del maestro), estudió la serie y encontró su propia prueba. Esta es la que hoy traigo aquí.
Para demostrar la divergencia de la serie armónica, Euler consideró el desarrollo en serie del logaritmo:
$$
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\ldots
$$
Ahora Euler considera $x=1$,
$$
\ln(0)=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right)
$$
[Anotación: Quizás parezca extraño, pero era consecuente con la suma que se conocía:
$$
\ln(1-(-1))=\ln(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots
$$
deducida precisamente por Pietro Mengoli y otros.]
Una vez dada la igualdad anterior, Euler operó con el logaritmo
$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots=-\ln(0)=\ln(0^{-1})=\ln\left(\frac{1}{0}\right)=\ln(\infty)=\infty.
$$
Un momento antes de sacar las escopetas. Euler razonó que el logaritmo de infinito es infinito; es decir, el logaritmo tendía a infinito. Pero entonces no existía la noción de límite, y se permitían estas digresiones del análisis matemático, que hasta la llegada de Augustin Louis Cauchy no se tratará con la rigurosidad que hoy demandamos. Euler trabajaba con la naturalidad que hoy decimos a nuestros alumnos de bachiller que $\frac{1}{0}=\infty$, cuando, con rigurosidad, $\frac{1}{0}$ no existe, no puede plantearse. Si lo analizamos desde las matemáticas de hoy, el desarrollo de logaritmo no es válido para $x=1$, por tanto, no puede suponerse $\ln(0)$. Sin embargo, el razonamiento de Euler es comprensible y casaría a la perfección para nuestros alumnos no universitarios.
Esta entrada participa en la Edición 8.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Santi García desde Raíz de 2.