Función Z: buscando primos

Hoy en día a todos conocemos (o, al menos, nos suena) la función zeta de Riemann, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},$$ para valores complejos con parte real mayor que uno. Posiblemente la hipótesis de Riemann sobre esta función sea el problema del siglo y quien lo resuelva pasará a los anales de las matemáticas. Deseo contaros es un poco de la historia que  condujo hacía Bernhard Riemann.

En 1737 Euler  (el maestro de todos los matemáticos, como lo llamaría William Dunham) probó la existencia de infinitos primos de una forma muy peculiar y original $$\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^s}  = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}(1), $$ para $s>1$.

Para ser precisos Euler concluyó que
$$\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}(2), $$
que equivalía a decir que el conjunto de números primos era infinito, pues sólo de esa forma el producto de la derecha sería divergente, de igual modo que la serie armónica de la izquierda. En el siglo XVIII de Euler no se las tenían con las precisiones y pulcritud demostrativa que Cauchy impondría en el siguiente siglo. Por ese motivo el resultado esperó hasta que Leopold Kronecker lo justificase con rigurosidad cauchiana en 1876, interpretando el resultado (2) como haciendo tender $s\to 1^+$ en $(1)$. No por ello las matemáticas dejarían de progresar. Este hallazgo sería el punto de partida para lo que se conocerá como teoría analítica de números.

Curiosamente el resultado cumbre de la teoría analítica de números, surge poco tiempo después del trabajo de Euler, una vez más de la mano de otro genio. Con sólo 14 años Gauss conjetura que
$$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\pi(\alpha)\ln\alpha}{\alpha}=1;$$
es decir, el número de primos que no exceden de $\alpha$ para valores cada vez más grandes de $\alpha$ se aproxima al cociente $\frac{\alpha}{\ln\alpha}$.

Gauss no lo probó, tampoco Adrien-Marie Legendre que lo reformuló en 1798. Tendríamos que esperarnos a 1896 para que lo hicieran, de forma independiente, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambas demostraciones basadas en el trabajo de Riemann sobre la función z.

Volvamos a 1837 cuando, otro de los grandes impulsores de la teoría analítica de números, entra en escena Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Dirichlet desea probar la conjetura de Gauss y utiliza el trabajo de Euler para crear primero la serie de Dirichlet y después las funciones L de Dirichlet: $$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s},$$ donde $\chi$ es un carácter de Dirichlet y $s$ una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Estudiando esta serie Dirichlet prueba su célebre teorema relativo a los primos existentes en una progresión aritmética.

Y aquí llegamos a 1859 cuando Riemann publica Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, su ensayo Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada. Riemann comienza el artículo diciendo:

No creo expresar mejor mi agradecimiento por la distinción que la Academia me ha hecho al nombrarme como uno de sus correspondientes que haciendo uso el privilegio que conlleva dicho nombramiento para comunicarle una investigación sobre la densidad de los números primos. Una materia que a causa del interés que Gauss y Dirichlet le han dedicado durante muchos años no parece indigna de una tal comunicación. Para esta investigación mi punto de salida es la observación de Euler…(*)

Este ensayo contendrá la archiconocida hipótesis de Riemann.

Esta entrada participa en la Edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews

(*) José Luis Muñoz, Rieman. Una visión nueva de la geometría. Nivola.