Combinatoria, un poco de historia

Si hacemos caso a la wikipedia(y por qué no) la combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

Como definición nos parece muy bien, pero a todos lo primero que nos recuerda son las probabilidades y contar conjuntos. A continuación el binomio de Newton o, paralelamente, el triángulo de Pascal. En cualquier caso, las combinaciones, permutaciones o disposiciones.

El concepto de permutación es muy antiguo, un resultado de Xenócrates de Calcedonia (396-314 a.C.) parece atisbar «el primer intento por registrar la solución de un problema difícil de permutaciones y combinaciones»[1], y, como curiosidad, aparece en la obra hebrea Sefer Yetzirah(El libro de la creación)[1], escrito entre el año 200 y el 600.

Pero el gran despertar de la combinatoria se debió a los trabajos de Blaise Pascal y Pierre Fermat, cuando discutieron sobre la teoría de juegos. La publicación en 1654 de Traité du triangle arithmétique coloca, al alcance de todo el conocimiento científico, los logros en teoría de probabilidad y combinatoria. Recordemos que Fermat no mostraba interés en publicar sus trabajos y Pascal se llevó la mayor parte del mérito (por otro lado, muy probablemente, merecido).

Aunque Pascal publica su conocimiento en combinatoria, el primer tratado formal de probabilidad lo publica Christiaan Huygens, De ratiociniis in ludo aleae, en 1657, dos años después de descubrir la primera luna de Saturno. Hay que decir, que Huygens se carteaba con Pascal y Fermat. Una vez más el círculo de Marin Mersenne daba sus frutos(¿se ha carteado alguien en la historia con tantos ilustres sabios?: René Descartes, Pascal, Philippe de la Hire-seguro que Desargues también, pues, junto con Pascal, los tres colocaron los principios de la geometría proyectiva-, Gilles de Robeval, Pierre de Fermat, Galileo Galilei, Huygens, entre los más conocidos).

No obstante la primera vez que leemos el término combinatoria aparece en la obra del aprendiz de Pascal: Gottfried Leibniz Dissertatio de arte combinatoria[3], de 1666 (¡ay!, justo el año que su archienemigo sufre el porrazo de la manzana en la cabeza). En este trabajo encuentra la fórmula

,

que creía original(que casualidad, pensaría otra vez el de la manzana), sin conocer que Michael Stifel(1487-1567) la publicó antes. Pero como por mediados del XVI, François Viète y Descartes no habían clarificado la manera de escribir las matemáticas, Leibniz no se enteró(Ignorantia juris non excusat: ¡Stifel era alemán!).

El fiel hermano mayor de los Bernoulli, Jacob(1654-1705), si se enteró (fiel a su mentor Leibniz, que no a su familia[2]), publicó Ars Conjectandi donde, en su impresión póstuma de 1713, se incluyó el tratado de Huygens, y donde demuestra el teorema del binomio, cerrando el círculo de los grandes pensadores de la combinatoria del siglo XVII.

El teorema binomial y los coeficientes binomiales, intrinsicamente ligados a la combinatoria, aparecieron antes que estos grandes pensadores del Siglo de los Sabios. Euclides lo muestra para el caso de $n=2$; Stifel introduce el término de coeficiente binomial y los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029) y Omar Khayyám (1048–1131) y los chinos (Yang Hui,–1238-1298–) discutieron las propiedades del triángulo aritmético antes que Tartaglia(1499-1557) lo hiciese, incluso de que Pascal lo popularizase (los occidentales tenemos la fea costumbre de creernos siempre los primeros). Aunque para ser honrados con Pascal, el no pretendió darle su nombre, eso se lo debemos a Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y a Abraham de Moivre (1730) que lo denominó «Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM»[4], otorgándole la paternidad.

Ya que hablamos de nombres, y para terminar, la introducción del símbolo del coeficiente binomial se lo debemos a Andreas von Ettighausen(1796-1878)[5], su mayor impacto en las matemáticas.

Esta entrada participa en la Edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series Divergentes.

[1] Matemáticas discreta y combinatoria: Introducción y aplicaciones, Ralph P. Grimaldi

[2]Los Bernoulli. Geómetras y viajeros, Carlos Sánchez Fernández, Concepción Valdés Castro, Editorial Nivola.

[3]Gottfried Leibniz, history-computer.com

[4]Triángulo de Pascal, es.wikipedia.org

[5]Andreas von Ettingshausen, en.wikipedia.org