Área de una esfera

Un bonito ejemplo de como deducir de manera sencilla el área de una esfera es el siguiente. Sabemos que el volumen de una esfera es $$V_S=\frac{4}{3}\pi R^3,$$ quien tenga dudas que vea la demostración de Arquímedes que expuso gaussianos, El volumen de la esfera.

Otra manera de ver este volumen es como una composición de pirámides triangulares, que unidas todas desde el centro darían forma de una esfera.

Está claro que esta representación no es la esfera, pero se aproxima. De hecho, si hacemos tender el numero de pirámides al infinito alcanzaríamos a la esfera. Esto significa que la suma de los volúmenes de las infinitas pirámides coincidiría con el volumen de la esfera: $$V_S=\sum_{n\to\infty}V_P(n).$$
Si hacemos todas la pirámides triangulares del mismo tamaño, con la misma base triangular, el volumen de cada pirámide triangular será: $$\frac{1}{3}A_{base}R.$$ En consecuencia $$V_S=\sum_{n\to\infty}V_P(n)=\sum_{n\to\infty}\frac{R}{3}A_{base}(n)=\frac{R}{3}\sum_{n\to\infty}A_{base}(n).$$
En el infinito la suma de las áreas de todas las bases, aunque estas tiendan a empequeñecer, se igualarían al área de la superficie de la esfera, $A_S$. Luego
$$V_S=\frac{R}{3}\sum_{n\to\infty}A_{base}(n)=\frac{R}{3}A_S,$$ y como sabemos que $$V_S=\frac{3}{4}\pi R^3,$$ resulta pues
$$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{R}{3}A_S\,\,\Rightarrow\,\, A_S={4}\pi R^2.$$

Esta sencilla demostración la he visto en Spherical Surfaces and Hat Boxes.