El radio de curvatura de Johann Bernoulli

Con la aparición del cálculo diferencial en el siglo XVII el proceso de calcular tangentes resultaba sumamente sencillo. ¿Y si buscamos que la tangente sea una circunferencia? Es decir, la circunferencia tangente en el punto dado de una curva. Isaac Newton la describió en su Principia, dando una construcción geométrica para conseguirla. Esta circunferencia se denomina  circunferencia osculatriz, que fue llamada «circulum osculans» («círculo que besa») por Leibniz. Se trata de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva, llamado centro de curvatura, y un radio que denominamos radio de curvatura de la curva en ese punto. Será un siglo después cuando la geometría diferencial de curvas tendrá su esplendor, consiguiendo las fórmulas del triedro de Frênet-Serret que hoy conocemos. Pero a finales del XVII ya se veía la relación directa entre la longitud de arco y el radio de curvatura.

La fórmula del radio de curvatura para una curva plana, $y=f(x)$, es la dada por $$R_{c}={\frac {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\left|{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right\vert}}$$
Esta fórmula la describió Johann Bernoulli en sus trabajos, deduciéndola de la siguiente forma.

Consideremos el radio $\overline{OD}$ y $\overline{BD}$, perpendiculares a la curva $AB$, que se unen en el centro de la circunferencia osculatriz $D$ de nuestra figura. El radio de la curvatura en $B$ es $r=\overline{BD}$, y la diferencial de la longitud de arco es $ds=\overline{BO}$. Del hecho que los triángulos $BHJ$ y el dado por los segmentos $ds$, $dx$ y $dy$, son semejantes, se sigue que
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{dy}{dx}.$$
Ahora,
$$\frac{\overline{JH}}{\overline{BJ}}=\frac{\overline{AH}-x}{y}.$$ Por tanto,
$$\overline{AH}=x+y\frac{dy}{dx}.$$
Cogemos $x$ como variable independiente tal que $d^2x=0$, de donde seguimos que $\overline{GH}$, como diferencial de $\overline{AH}$, estará dado por
$$\overline{GH}=d(\overline{AH})=d\left(x+y\frac{dy}{dx}\right)=dx+\frac{(dy)^2+yd^2y}{dx}.$$
A continuación Johann Bernoulli pone de manifiesto la semejanza de los triángulos $DGH$ y $DCB$, que dan la proporción
$$\frac{\overline{BC}}{\overline{HG}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{HD}}.$$
Resulta que
$$\overline{BC}=\frac{(dx)^2+(dy)^2}{dx},\quad \overline{BD}=r,$$
y
$$\overline{HD}=r-\overline{BH}=r-\frac{y\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}.$$
Sólo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener
$$r=-\frac{\left[(dx)^2+(dy)^2\right]^{3/2}}{(dx)(d^2y)}=\frac{(ds)^3}{(dx)(d^2y)}.$$
Así consigue Johann Bernoulli encontrar el radio de curvatura. El paso para obtener la primera fórmula es dividir numerador y denominador por $(dx)^3$. Pero esa fórmula no la utilizó Johann Bernoulli. En aquel siglo la formulación de $y=f(x)$ todavía no se utilizaba.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.