Esta semana parece que la dedicamos a los complejos, en este caso para resolver un curioso ejercicio: ¿cuánto es 1π?
Curioso, ¿a que sí? Es un ejercicio clásico de recordad el logaritmo complejo (miradlo abajo) y aplicarlo a la fórmula
De esta forma tendremos
Con lo cual concluimos que 1π tiene infinitos valores, todos ellos sobre el círculo unidad dado por |z|=1.
Enlaces de interés:
- Logaritmo complejo, video
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¿El primer logaritmo que aparece en el desarrollo no debería ser ya logaritmo neperiano (ln)? Porque se supone que para eso se tomó base «e».
Tienes razón, es un error habitual que cometo en la notación, al escribirlo lo hago como en MatLab que utiliza log(x) para el logaritmo natural.
¿No quedaría entonces lo siguiente?
1^(PI) = e^[PI·ln(1)] = e^(PI·0) = e^(0) = 1
Es el logaritmo complejo, tu sólo estás aplicando la parte real; que de hecho es una de las soluciones.
Mira este razonamiento, utilizando la fórmula de Euler
$ e^{i \pi}=-1$, luego $ e^{2i \pi}=1$, y elevándolo todo a pi, $ e^{2i \pi^2}=1^{\pi}$, que sería otra solución para n=1.
Partiendo de eso sí se ve claro. Lo único es que para mí la ecuación de Euler no es nada intuitiva, y la tengo que aceptar como acto de fe.
Por otra parte, ¿qué pasa con eso que nos decían cuando éramos niños de «1 elevado a cualquier número es igual a 1»?
¡Ay!, cuántas veces nos contaron cosas que luego hemos descubierto que no eran así. Seguro que te viene a la mente un montón.