Isaac Newton fue el primero en establecer el teorema del binomio para exponentes negativos y fraccionarios. Los libros de texto de secundaria suelen llamar binomio de Newton a la conocida fórmula para desarrollar $(a+b)^n$ cuando n es natural, si bien esta fórmula ya era conocida desde la antigüedad.
El verdadero descubrimiento de Newton, y el primer gran hallazgo matemático de su dilatada carrera, fue el intuir que la fórmula podía ser generalizada más allá de exponentes naturales.
La fórmula apareció por primera vez en una carta que Newton escribió el 13 de junio de 1676 a Henry Oldenburg, secretario por aquel entonces de la Royal Society, para que se la transmitiera a Leibniz, quien le había pedido información sobre sus trabajos con series infinitas. Cuando Leibniz recibió la carta, contestó a Newton pidiéndole más información. Newton le contestó el día 24 de octubre del mismo año. Ambas cartas fueron publicadas en el Commercium Epistolicum en 1712.
Reproducimos aquí la fórmula del binomio tal y como fue escrita.
$$\overline{P+PQ}|\frac{m}{n}=P\frac{m}{n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{4n^1}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+…$$
En dicha carta Newton además realiza algunas observaciones muy interesantes. Por un lado Newton afirma que el cálculo de raíces resulta mucho más corto aplicando la expresión del binomio. Newton explica posteriormente el valor de las letras $A,\;B,\;C…$ diciendo que $A=P^{\frac{m}{n}}$, $B=\frac{m}{n}AQ$ y así sucesivamente, lo que nos da una muestra de la concisión en las explicaciones de Newton, ya que todos agradeceríamos al menos un tercer término para comprender mejor la fórmula.
En la misma carta además Newton aclara la notación que va a utilizar explicando que utilizará $a^2,\;a^3,…$ para $aa,\;aaa,…$ y que para escribir $\sqrt{a},\;\sqrt{a^3},…$ usaría $a^\frac{1}{2},\;a^\frac{3}{2},…$
Quizás si observamos la fórmula anterior nos costará reconocer en ella, tras un primer vistazo, la conocida fórmula del binomio de Newton que tantas veces hemos explicado en nuestras clases y tanto cuesta que nuestros alumnos aprendan.
Examinemos con un poco más de detenimiento la fórmula y tengamos en cuenta que $$A=P^{m/n}$$ $$B=\frac{m}{n}AQ=\frac{m}{n}P^{m/n}Q$$ $$C=\frac{m-n}{2n}BQ=\frac{(m-n)m}{(2n)n}P^{m/n}Q^2=\frac{(\frac{m}{n})(\frac{m}{n}-1)}{2}P^{m/n}Q^2$$ $$D=\frac{m-2n}{3n}CQ=\frac{(\frac{m}{n})(\frac{m}{n}-1)(\frac{m}{n}-2)}{3 \times 2}P^{m/n}Q^3\hspace{15pt} \mbox{etc} $$
Si aplicamos ahora la fórmula de Newton sacando factor común $P^{m/n}$ a ambos lados de la igualdad tenemos que
$$P^{m/n}(1+Q)^{m/n}=(P+PQ)^{m/n}=$$
$$P^{\frac{m}{n}}[1+\frac{m}{n}Q+\frac{\left(\displaystyle\frac{m}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)}{2}Q^2+\frac{\left(\displaystyle\frac{m}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)\left(\displaystyle\frac{m}{n}-2\right)}{3 \times 2}Q^3+…]$$
Finalmente, cancelando $P^{m/n}$, obtenemos
$$(1+Q)^{m/n}= 1+\frac{m}{n}Q+\frac{\left(\displaystyle\frac{m}{n}
\right)\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)}{2}Q^2+\frac{
\left(\displaystyle\frac{m}{n}\right)
\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)\left(\displaystyle\frac{m}{n}-2\right)}{3 \times 2}Q^3+\cdots$$Fórmula que a todos nos resulta bastante más familiar.
Resulta un sencillo ejercicio comprobar que la fórmula para desarrollar,
por ejemplo, la expresión $(1+x)^4$ nos da como resultado y como no podía ser de otra manera la expresión $$(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$$
Cuando trabajamos con exponentes negativos o fraccionarios, por ejemplo si aplicamos la fórmula de Newton a la expresión
$(1+x)^{-3}$ obtenemos $$1+(-3)x+\frac{(-3)(-4)}{2}x^2+\frac{(-3)(-4)(-5)}{6}x^3+…$$
O lo que es lo mismo, $$(1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+….$$