El mismo año en que Mercator publicó su trabajo sobre la serie logarítmica, William Brouncker (1620 – 1684) probó que el área encerrada por la hipérbola $(x+1)y=1$, el eje X y las ordenadas $x=0$ y $x=1$ venía dada por la serie infinita $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$ o lo que es lo mismo por $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{5\cdot6}+\cdots$$ fórmula que se obtiene… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (VIII)
Autor: pacogomez
Primeros desarrollos en serie (VII)
Teniendo en cuenta que Mercator estableció la serie logarítmica sólo con palabras, como hemos señalado con anterioridad, podemos hacernos una idea de las dificultades que encontraríamos para seguir su razonamiento a partir del texto original. Sin embargo, Wallis en su revisión de Logarithmotechnia publicada en The Philosophical Transactions en 1668 presenta una exposición más detallada… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (VII)
Primeros desarrollos en serie (VI)
En la tercera parte de Logarithmotechnia Mercator demuestra la fórmula ya conocida por Newton, $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdot\cdot\cdot$$ para el área encerrada bajo la hipérbola. Mercator termina su obra con una conclusión extremadamente atrevida, sumando infinitos segmentos de hipérbola asegura que $$\int_0^x\log(1+t)dt=\frac{x^2}{1\cdot2}-\frac{x^3}{2\cdot3}+\frac{x^4}{3\cdot4}-\frac{x^5}{4\cdot5}+\cdots$$ Más allá del debate de quién fue el primero en encontrar la fórmula, cosa que nunca… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (VI)
Primeros desarrollos en serie (V)
Nicolaus Mercator (1620 – 1687) nació en Holstein, entonces parte de Dinamarca, aunque pasó la mayoría de su vida en Inglaterra. Mercator fue un distinguido matemático, físico y astrónomo, aunque hoy en día su trabajo haya sido injustamente olvidado. En 1651 publicó las obras Trigonometria sphaericorum logarithmica, Cosmographia y Astronomica sphaerica. Ya en 1668 Mercator… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (V)
Primeros desarrollos en serie (IV)
Newton era consciente de los resultados de Saint Vincent y sabía que el área encerrada bajo la hipérbola $y=\frac{1}{x}$, el eje $X$ y las rectas $x=1$ y $x=t$ era una función logarítmica, llamémosle $\log t$ aunque ni Saint Vincent, ni Newton mencionaron la base del logaritmo. Por tanto, el área encerrada por la hipérbola $y=\frac{1}{x+1}$… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (IV)
Primeros desarrollos en serie (III)
Anteriormente hicimos referencia a cómo en la carta donde Newton explicaba el teorema del binomio, le decía a Leibniz diciéndole que el cálculo de raíces resultaba más corto aplicando su teorema. Veamos brevemente cómo aplicaba Newton la fórmula al cálculo, por ejemplo de $\sqrt{7}$. Observemos que $$7=9\left(\frac{7}{9}\right)=9\left(1-\frac{2}{9}\right)$$ y que por tanto $$\sqrt{7}=\sqrt{9\left(1-\frac{2}{9}\right)}=3\sqrt{1-\frac{2}{9}}$$ Reemplazando ahora la… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (III)
Primeros desarrollos en serie (II)
Debemos tener en cuenta que Newton no demostró la validez de la fórmula, sino que sólo conjeturó que debía ser así. Por ejemplo, para comprobar la validez de la expresión anterior, Newton multiplicó en cruz para obtener cancelando términos la igualdad $$(1+3x+3x^2+x^3)(1-3x+6x^2-10x^3+…)=1$$ Si curiosa es la fórmula de Newton cuando los exponentes son negativos, no… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (II)
Primeros desarrollos en serie (I)
Isaac Newton fue el primero en establecer el teorema del binomio para exponentes negativos y fraccionarios. Los libros de texto de secundaria suelen llamar binomio de Newton a la conocida fórmula para desarrollar $(a+b)^n$ cuando n es natural, si bien esta fórmula ya era conocida desde la antigüedad. El verdadero descubrimiento de Newton, y el… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (I)