En la tercera parte de Logarithmotechnia Mercator demuestra la fórmula ya conocida por Newton, $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdot\cdot\cdot$$
para el área encerrada bajo la hipérbola.
Mercator termina su obra con una conclusión extremadamente atrevida, sumando infinitos segmentos de hipérbola asegura que $$\int_0^x\log(1+t)dt=\frac{x^2}{1\cdot2}-\frac{x^3}{2\cdot3}+\frac{x^4}{3\cdot4}-\frac{x^5}{4\cdot5}+\cdots$$
Más allá del debate de quién fue el primero en encontrar la fórmula, cosa que nunca podremos saber con exactitud, si que debemos decir que Newton contaba sólo con 24 años mientras que Mercator tenía unos 47, y que mientras que para Mercator este fue quizás su resultado más importante, para Newton fue sólo el inicio.
Es de destacar que Mercator no expresa esta fórmula tal y como la hemos escrito aquí usando una notación conocida y actual, sino que la expresó enteramente con palabras. Para llegar a este resultado Mercator comenzó con la igualdad $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3\cdots$$ igualdad que obtiene mediante divisiones de la siguiente manera:
En algunos textos se afirma de manera totalmente equivocada, que a partir de la expresión anterior Mercator obtuvo integrando término a término la serie logarítmica. Nada más lejos de la realidad, ya que Mercator utilizó una técnia similar a la de los indivisibles de Cavalieri.
Mas que importante en entender la logarimotecnia, en este caso dado por Newton y luego por Mercator, sera una gran ayuda para entender las secuencias efectuadas con estas 2 series de ecuaciones matemáticas…gracias.