Sellos de Euler

Las imágenes de unos sellos que he encontrado por internet.

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El número e en la obra de Euler (V)

De los pasados días disponemos de las siguientes expresiones para la función exponencial, $ e^{z} = 1 + \frac{z}{1} + \frac{z^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{z^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{z^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdots $ y se podrá dar con los logaritmos hiperbólicos a partir de la serie infinita $ l(1+x)… Seguir leyendo El número e en la obra de Euler (V)

El número e en la obra de Euler (IV)

Continuemos mostrando como Euler razona seguidamente. Si ponemos en esta expresión x= a-1 obtendremos una expresión que nos permite determinar k en función de a (que es la otra relación que nos faltaba) En efecto se tendría que $ 1 = log_{a}(a) = log_{a} (1+x) = \frac{1}{k} \left( \frac{a-1}{1} + \frac{(a-1)^{2}}{2} + \frac{(a-1)^{3}}{3} + \frac{(a-1)^{4}}{4}… Seguir leyendo El número e en la obra de Euler (IV)

El número e en la obra de Euler (III)

Volviendo a nuestra ecuación original hemos supuesto que $ a^{\omega} = 1+k\omega $ Denotando por l el logaritmo en base a, $l=log_{a} $ se tendrá que $ \omega = l(1+k\omega) \rightarrow i\omega = l(1+k\omega)^{i} = l(1+x)$ donde hemos denotado por $ 1+x = (1+k\omega)^{i} $ que debe ser una cantidad de suerte que $ l(1+x)… Seguir leyendo El número e en la obra de Euler (III)

El número e en la obra de Euler (II)

El pasado día obtuvimos $ a^{z} = a^{iw} = (1+k\omega)^{i} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i}, $ Ahora, desarrollando por la fórmula del binomio de Newton tendremos $ a^{z} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i} = 1 + \binom{i}{1}\frac{kz}{i} + \binom{i}{2}\frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \binom{i}{3}\frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \cdots =$ $ = 1 + \frac{i}{1} \frac{kz}{i} + \frac{i(i-1)}{1 \cdot… Seguir leyendo El número e en la obra de Euler (II)

Navegando a casa

 El pasado 12 de noviembre en tendencias21 aparecía la noticia: Navegando a casa, nuevo concurso de colaboración entre ingeniería y ciencia, un concurso de programación en línea, organizado por MathWorks, para el otoño de 2010, en el que se reta a los usuarios de MATLAB de todo el mundo a solucionar un problema de navegación.… Seguir leyendo Navegando a casa

How Euler did it

Creo que en alguna entrada he hablado de este trabajo. Un libro recopilatorio de cómo Euler probó algunos de los desarrollos más importantes que nos legó. Es muy interesante y además lo vemos disponible en google books. Aprovecharé para traer algunos de sus trabajos aquí. Enlaces de interés: Charles Edward Sandifer, How Euler did it,… Seguir leyendo How Euler did it

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Infinitos primos

 De vez en cuando es bueno releer a los clásicos, porque, parafraseando a Newton, si vemos más lejos es debido a estar sentados sobre los hombros de gigantes. Al grano, he releido una demostración de Euler sobre la infinitud del conjunto de los números primos, y, aunque es bien conocida, nos resultará provechoso refrescar nuestra… Seguir leyendo Infinitos primos

La fórmula de De Moivre

Repasando tareas y respuestas de mis alumnos, he vuelto a recordar la vieja relación entre Abraham De Moivre y Euler. Hoy se suele demostrar la fórmula de De Moivre utilizando la fórmula de Euler; sin embargo, cronológicamente no fue así. Euler conocía $ (\cos(\theta)\pm i \sin(\theta))^n=\cos(n\theta)\pm i \sin(n\theta)$, de hecho De Moivre la escribió antes… Seguir leyendo La fórmula de De Moivre